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4.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,且 c=2,C=π3,則△ABC的面積為( �。�
A.233B.3C.433D.533

分析 由已知及三角形內(nèi)角和定理兩角和的正弦公式,sin(2A-π6)=12,根據(jù)角的范圍求出得A=π6π2,分類討論,分別求出直角三角形邊長,利用三角形面積公式即可得解.

解答 解:∵sinC+sin(B-A)=2sin2A,C=π3
32+sin(2π3-2A)=32+sin2π3cos2A-cos2π3sin2A=2sin2A,
32sin2A-32cos2A=32,
32sin2A-12cos2A=12,
∴sin(2A-π6)=12
∵0<A<2π3
∴-π6<2A-π67π6,
∴2A-π6=π6或2A-π6=5π6
解得A=π6π2
當(dāng)A=π6時(shí),B=π2,
∵c=2,
∴a=233,
∴S△ABC=12ac=233,
當(dāng)A=π2時(shí),B=π6,
∵c=2,
∴b=233,
∴S△ABC=12bc=233
綜上所述△ABC的面積為233,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,兩角和差的正弦公式,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵,屬于基本知識(shí)的考查.

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