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4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,且 c=2,∠C=\frac{π}{3},則△ABC的面積為( �。�
A.\frac{{2\sqrt{3}}}{3}B.\sqrt{3}C.\frac{{4\sqrt{3}}}{3}D.\frac{{5\sqrt{3}}}{3}

分析 由已知及三角形內(nèi)角和定理兩角和的正弦公式,sin(2A-\frac{π}{6})=\frac{1}{2},根據(jù)角的范圍求出得A=\frac{π}{6}\frac{π}{2},分類討論,分別求出直角三角形邊長,利用三角形面積公式即可得解.

解答 解:∵sinC+sin(B-A)=2sin2A,C=\frac{π}{3},
\frac{\sqrt{3}}{2}+sin(\frac{2π}{3}-2A)=\frac{\sqrt{3}}{2}+sin\frac{2π}{3}cos2A-cos\frac{2π}{3}sin2A=2sin2A,
\frac{3}{2}sin2A-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2A=\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{1}{2}cos2A=\frac{1}{2},
∴sin(2A-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}
∵0<A<\frac{2π}{3},
∴-\frac{π}{6}<2A-\frac{π}{6}\frac{7π}{6},
∴2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}或2A-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6},
解得A=\frac{π}{6}\frac{π}{2}
當(dāng)A=\frac{π}{6}時(shí),B=\frac{π}{2},
∵c=2,
∴a=\frac{2\sqrt{3}}{3},
∴S△ABC=\frac{1}{2}ac=\frac{2\sqrt{3}}{3},
當(dāng)A=\frac{π}{2}時(shí),B=\frac{π}{6},
∵c=2,
∴b=\frac{2\sqrt{3}}{3},
∴S△ABC=\frac{1}{2}bc=\frac{2\sqrt{3}}{3}
綜上所述△ABC的面積為\frac{2\sqrt{3}}{3},
故選:A.

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,兩角和差的正弦公式,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵,屬于基本知識的考查.

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