Question

17．從1，2，3，…，9，10這10個整數(shù)中任意取3個不同的數(shù)作為二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的系數(shù)，則滿足$\frac{f（1）}{3}$∈N的方法有（　　）種．

• A． 264
• B． 252
• C． 240
• D． 196

Answer 1

分析 由題意可得 f（1）=a+b+c是3的倍數(shù)，對a，b，c分情況，分別求得滿足條件的（a，b，c）的個數(shù)，相加即得所求．

解答 解：∵f（1）=a+b=c，
∴若$\frac{f（1）}{3}$∈N，
即 f（1）=a+b+c是3的倍數(shù)，
對1，2，3，…，9，10這10個整數(shù)分組，
①3，6，9；②1，4，7，10；③2，5，8
若a，b，c里面三個都是3的倍數(shù)，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時（a，b，c）共有${A}_{3}^{3}$=6個．
若a，b，c里面三個被3除余數(shù)為1，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時（a，b，c）共有${C}_{4}^{3}{A}_{3}^{3}$=24個．
若a，b，c里面三個被3除余數(shù)為2，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時（a，b，c）共有${A}_{3}^{3}$=6個．
若a，b，c里面有一個被3整除，有一個被3除余數(shù)為2，有一個被3除余數(shù)為1，則a+b+c是3的倍數(shù)，
此時（a，b，c）共有${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}$${A}_{3}^{3}$=216個．
故滿足$\frac{f（1）}{3}$∈Z的（a，b，c）一共有252個，
故選：B

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質，排列組合的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．