Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F作直線l與拋物線交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AB|=4p，且OA⊥OB，且$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-9．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l：y=x+m與拋物線C相切于點(diǎn)E，與圓（x+2）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=4交于點(diǎn)F，G，求$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{EG}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，根據(jù)OA⊥OB得出x₁x₂+y₁y₂=0，代入$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-9解出p；
（2）聯(lián)立方程組消元，令△=0解出m，得出直線l的方程和E點(diǎn)坐標(biāo)，與圓方程聯(lián)立得出F，G的坐標(biāo)關(guān)系，代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4p，
∴x₁+x₂=3p，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∵$\overrightarrow{FA}=（{x_1}-1，{y_1}），\overrightarrow{FB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-（{x_1}+{x_2}）=-3p=-9$，
解得p=3，
∴拋物線C的方程為y²=6x．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消元得，x²+（2m-6）x+m²=0，
∴△=（2m-6）²-4m²=0，解之得$m=\frac{3}{2}$．
∴${x^2}-3x+\frac{9}{4}=0$，解得$x=\frac{3}{2}$，故切點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，3）．
∴直線l的方程為y=x+$\frac{3}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{3}{2}\\{（x+2）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=4\end{array}\right.$，得2x²+6x+1=0，
設(shè)F（x₃，y₃），G（x₄，y₄），則x₃+x₄=-3，x₃x₄=$\frac{1}{2}$，
∴${y_3}{y_4}=（{x_3}-\frac{3}{2}）（{x_4}-\frac{3}{2}）={x_3}{x_4}-\frac{3}{2}（{x_3}+{x_4}）+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$，y₃+y₄=（x₃+x₄）+3=0，
∵$\overrightarrow{EF}=（{x_3}-\frac{3}{2}，{y_3}-3）$，$\overrightarrow{EG}$=（x₄-$\frac{3}{2}$，y₄-3），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{EG}$=（x₃-$\frac{3}{2}$）（x₄-$\frac{3}{2}$）+（y₃-3）（y₄-3）=x₃x₄-$\frac{3}{2}$（x₃+x₄）+y₃y₄-3（y₃+y₄）+$\frac{45}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$×（-3）+$\frac{29}{4}$-0+$\frac{25}{4}$=$\frac{37}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．