Question

9．平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²-2y=0，圓心F為拋物線y=$\frac{1}{2p}$x²的焦點，直線l經過點F與拋物線交于A，B兩點，|AB|=5．
（I）求AB中點的縱坐標；
（Ⅱ）將圓F沿y軸向下平移一個單位得到圓N，過拋物線上一點M（2$\sqrt{2}$，m）作圓N的切線，切點分別為C，D，求直線CD的方程和△OCD的面積．

Answer 1

分析 （I）圓x²+y²-2y=0，配方為x²+（y-1）²=1，圓心F（0，1）為拋物線y=$\frac{1}{2p}$x²的焦點，可得$\frac{p}{2}$=1，可得拋物線方程．直線l經過點F與拋物線交于A，B兩點，|AB|=5．可得5=y_A+y_B+p，利用中點坐標公式可得線段AB中點的縱坐標=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$．
（II）將圓F沿y軸向下平移一個單位得到圓N：x²+y²=1，把點M（2$\sqrt{2}$，m）代入拋物線方程可得：點M（2$\sqrt{2}$，2）．以OM為直徑的圓的方程為：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-1）^{2}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}{4}$，與x²+y²=1，相減可得直線CD的方程．利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線CD的距離d．利用|CD|=2$\sqrt{1-6genakc^{2}}$．可得：S_△OCD=$\frac{1}{2}$d|CD|．

解答 解：（I）圓x²+y²-2y=0，配方為x²+（y-1）²=1，圓心F（0，1）為拋物線y=$\frac{1}{2p}$x²的焦點，
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴拋物線方程為：x²=4y．
∵直線l經過點F與拋物線交于A，B兩點，|AB|=5．
∴5=y_A+y_B+p，可得y_A+y_B=5-2=3，
∴線段AB中點的縱坐標=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
（II）將圓F沿y軸向下平移一個單位得到圓N：x²+y²=1，
把點M（2$\sqrt{2}$，m）代入拋物線方程可得：$（2\sqrt{2}）^{2}=4m$，解得m=2．
∴點M（2$\sqrt{2}$，2）．
∴以OM為直徑的圓的方程為：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-1）^{2}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}{4}$，即${x}^{2}-2\sqrt{2}x+{y}^{2}-2y$=0，
與x²+y²=1，相減可得直線CD的方程為：2$\sqrt{2}$x+2y-1=0．
∴原點O到直線CD的距離d=$\frac{1}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
|CD|=2$\sqrt{1-b4xyq6a^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$．
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$d|CD|=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}$×$\frac{\sqrt{33}}{3}$=$\frac{\sqrt{11}}{12}$．

點評 本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、直線與圓相切及其相交性質、點到直線的距離公式、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．