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14.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,定義:△F1BF2為橢圓C的“特征三角形”,如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形,那么稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比,已知點(diǎn)F30是橢圓C1x2a2+y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn),且C1上任意一點(diǎn)到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且C2與C1的相似比為2:1,求橢圓C2的方程;
(2)已知點(diǎn)P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任意一點(diǎn),若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=1mny異于原點(diǎn)的交點(diǎn),證明:點(diǎn)Q一定在雙曲線4x2-4y2=1上;
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb,是否存在正方形ABCD,(設(shè)其面積為S),使得A、C在直線l上,B、D在曲線Cb上?若存在,求出函數(shù)S=f(b)的解析式及定義域;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由題意c=3,a=2,則b2=a2-c2=1,即可求得橢圓C1的方程,根據(jù)相似比2,a2=4;b2=2,即可求得橢圓C2的方程;
(2)由題設(shè)條件知m24+n2=1,設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),由題設(shè)條件能推出{x0=1my0=nm,即可求得{y0=nx0x20=1mny0,即可求得4x2-4y2=1;
(3)橢圓C1x24+y2=1,相似比為b,則橢圓Cb的方程,由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可.設(shè)BD:y=-x+m,代入橢圓方程,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x0,y0),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

解答 解:(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F30,|PF1|+|PF2|=2a=4,
∴b2=a2-c2=1,則橢圓C1x24+y2=1,
設(shè)C2x2a22+y222=1,相似比為2,a2=4;b2=2,
∴橢圓C2x216+y24=1;
(2)證明:點(diǎn)P(m,n)在橢圓上,則m24+n2=1,設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),
{y0=nx0x20=1mny0,{x0=1my0=nm,
∴4x02-4y02=4m2-4n2m2=41n2m2=4×m24m2=1,
∴點(diǎn)Q在雙曲線4x2-4y2=1上
(3)橢圓C1x24+y2=1,相似比為b,則橢圓Cb的方程為:x242+y22=1,
由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可
設(shè)BD:y=-x+m,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2),
{y=x+mx2+4y2=42,5x2-8mx+4m2-4b2=0,
△=64m2-16×5×(m2-b2)>0,5b2>m2,
由韋達(dá)定理知:x0=4m5,y0=-x0+m=15m,
E(x0,y0)在直線y=x+1上,
15m=4m5+1
解得:m=-53,∴b295,則b>355
此時(shí)正方形的邊長為BD2,
∴正方形的面積為S=f(b)=(BD22,
丨BD丨=1+k2x1+x224x1x2=42552259,
∴函數(shù)S=f(b)的解析式:fb=165b2169,定義域?yàn)?b>\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,綜合考查橢圓的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤,屬于中檔題.

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