分析 (1)由題意c=√3,a=2,則b2=a2-c2=1,即可求得橢圓C1的方程,根據(jù)相似比2,a2=4;b2=2,即可求得橢圓C2的方程;
(2)由題設(shè)條件知m24+n2=1,設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),由題設(shè)條件能推出{x0=1my0=nm,即可求得{y0=nx0x20=1mny0,即可求得4x2-4y2=1;
(3)橢圓C1:x24+y2=1,相似比為b,則橢圓Cb的方程,由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可.設(shè)BD:y=-x+m,代入橢圓方程,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x0,y0),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
解答 解:(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(√3,0),|PF1|+|PF2|=2a=4,
∴b2=a2-c2=1,則橢圓C1:x24+y2=1,
設(shè)C2:x2a22+y222=1,相似比為2,a2=4;b2=2,
∴橢圓C2:x216+y24=1;
(2)證明:點(diǎn)P(m,n)在橢圓上,則m24+n2=1,設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),
{y0=nx0x20=1mny0,{x0=1my0=nm,
∴4x02-4y02=4m2-4n2m2=4(1−n2)m2=4×m24m2=1,
∴點(diǎn)Q在雙曲線4x2-4y2=1上
(3)橢圓C1:x24+y2=1,相似比為b,則橢圓Cb的方程為:x242+y22=1,
由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可
設(shè)BD:y=-x+m,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2),
{y=−x+mx2+4y2=42,5x2-8mx+4m2-4b2=0,
△=64m2-16×5×(m2-b2)>0,5b2>m2,
由韋達(dá)定理知:x0=4m5,y0=-x0+m=15m,
E(x0,y0)在直線y=x+1上,
則15m=4m5+1
解得:m=-53,∴b2>95,則b>3√55,
此時(shí)正方形的邊長為丨BD丨√2,
∴正方形的面積為S=f(b)=(丨BD丨√2)2,
丨BD丨=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√25√52−259,
∴函數(shù)S=f(b)的解析式:f(b)=165b2−169,定義域?yàn)?b>\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,綜合考查橢圓的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤,屬于中檔題.
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A. | \frac{28}{3}π | B. | 4π | C. | \frac{10}{3}π | D. | \frac{2}{3}+\frac{8}{3}π |
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A. | 2 | B. | -2 | C. | 3 | D. | -3 |
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x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 22 | 35 | 48 | 75 |
A. | 22 | B. | 26 | C. | 33.6 | D. | 19.5 |
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