Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）先寫過點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（Ⅱ）先由（Ⅰ）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程．

試題解析：（Ⅰ）過點(diǎn)，的直線方程為，

則原點(diǎn)到直線的距離，

由，得，解得離心率．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，橢圓的方程為． (1)

依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且．

易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得

設(shè)則

由，得解得．

從而．

于是．

由，得，解得．

故橢圓的方程為．

解法二：由（Ⅰ）知，橢圓的方程為． (2)

依題意，點(diǎn)，關(guān)于圓心對(duì)稱，且．

設(shè)則，，

兩式相減并結(jié)合得．

易知，不與軸垂直，則，所以的斜率

因此直線方程為，代入(2)得

所以，．

于是．

由，得，解得．

故橢圓的方程為．