【題目】對于三個實數(shù)、,若成立,則稱、具有“性質(zhì)”.

(1)試問:①,0是否具有“性質(zhì)2”;

),0是否具有“性質(zhì)4”;

(2)若存在,使得成立,且

,1具有“性質(zhì)2”,求實數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè),,,為2019個互不相同的實數(shù),點

均不在函數(shù)的圖象上,是否存在,且,使得

具有“性質(zhì)2018”,請說明理由.

【答案】(1)①具有“性質(zhì)2”,②不具有“性質(zhì)4”;(2);(3)存在.

【解析】

1)①根據(jù)題意需要判斷的真假即可② 根據(jù)題意判斷是否成立即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)具有性質(zhì)2可求出的范圍,由存在性問題成立轉(zhuǎn)化為 ,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.

1)①因為,成立,

所以,故,0具有“性質(zhì)2”

②因為,設(shè),則

設(shè),

對稱軸為

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,

所以當(dāng)時,不恒成立,

不成立,

),0不具有性質(zhì)4”.

2)因為,1具有“性質(zhì)2”

所以

化簡得

解得 .

因為存在,使得成立,

所以存在 使 即可.

,則

當(dāng)時,

所以上是增函數(shù),

所以時,,當(dāng)時,,

時,

因為上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,

所以

故只需滿足即可,解得.

3)假設(shè)具有“性質(zhì)2018”,則,

即證明在任意2019個互不相同的實數(shù)中,一定存在兩個實數(shù),滿足:

.

證明:

,由萬能公式知

等分成2018個小區(qū)間,則2019個數(shù)必然有兩個數(shù)落在同一個區(qū)間,令其為:,即,

也就是說,在,,,這2019個數(shù)中,一定有兩個數(shù)滿足,

即一定存在兩個實數(shù),滿足

從而得證.

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.

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地區(qū)




數(shù)量

50

150

100

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