Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與拋物線y²=4x的交點為A，B，且直線AB過雙曲線與拋物線的公共焦點F，則雙曲線的實軸長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 根據拋物線與雙曲線的焦點相同，可得c=1，利用直線AB，過兩曲線的公共焦點建立方程關系即可求出a．

解答 解：∵$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與拋物線y²=4x，
∴c=1，
∵直線AB過兩曲線的公共焦點F，
∴（1，2）為雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上的一個點，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
∵a²+b²=1，∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴2a=2$\sqrt{2}$-2．
故選：D．

點評 本題考查拋物線與雙曲線的綜合，考查拋物線與雙曲線的幾何性質，確定幾何量之間的關系是關鍵．綜合性較強，考查學生的計算能力．