【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓
(
)的短軸長為2,橢圓
上的點到右焦點距離的最大值為
.過點
作斜率為
的直線
交橢圓
于
,
兩點(
,
),
是線段
的中點,直線
交橢圓
于
,
兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若,
,求
的值;
(3)若存在直線,使得四邊形
為平行四邊形,求
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由題意列出關于a,b,c的方程,解得a,b則可得橢圓的方程.
(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理可得D的坐標,進而得到直線
的方程,再與橢圓的方程聯(lián)立,可得M的的坐標,代入已知的向量關系式中,解得k即可.
(3)聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理及
,得到關于m與k的不等關系式,再將四邊形
為平行四邊形轉化為向量關系,得到m與k的等量關系,代入不等式消去k可得m的范圍.
(1)由條件,,
,
,
解得,
,
所以橢圓的標準方程為
.
(2)當時,直線
的方程為
,
設
,
由消去
得:
.
因為點在橢圓內,所以
.
所以,所以
.
所以,直線
的方程為:
.
由消去
得:
,所以
.
因為,所以
,
因為,解得
.
(3)直線的方程為
,
由消去
得:
.
所以,即
(*),
且,所以
.
因為,
關于原點對稱,
由(2)易知,.
由四邊形為平行四邊形,所以
,
可得,即
.
由于將代入(*)式恒成立,
所以當時,
,
因為,所以
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1,若AB=BC,E,F分別是AB1,BC1的中點,則下列結論中不成立的是( )
A.EF與BB1垂直B.EF⊥平面BDD1B1
C.EF與C1D所成的角為45°D.EF∥平面A1B1C1D1
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某書店剛剛上市了《中國古代數學史》,銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷,每種單價(元)試銷l天,得到如表單價
(元)與銷量
(冊)數據:
單價 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根據表中數據,請建立關于
的回歸直線方程:
(2)預計今后的銷售中,銷量(冊)與單價
(元)服從(l)中的回歸方程,已知每冊書的成本是12元,書店為了獲得最大利潤,該冊書的單價應定為多少元?
附:,
,
,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設,
是兩條不同的直線,
,
,
是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若,
,則
②若,
,
,則
③若,
,則
④若,
,則
其中正確命題的序號是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓
(
)的上頂點為
,圓
經過點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線
交橢圓
于
,
兩點,過點
作直線
的垂線
交圓
于另一點
.若△PQN的面積為3,求直線
的斜率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】空氣質量指數是檢測空氣質量的重要參數,其數值越大說明空氣污染狀況越嚴重,空氣質量越差.某地環(huán)保部門統(tǒng)計了該地區(qū)某月1日至24日連續(xù)24天的空氣質量指數
,根據得到的數據繪制出如圖所示的折線圖,則下列說法錯誤的是( )
A. 該地區(qū)在該月2日空氣質量最好
B. 該地區(qū)在該月24日空氣質量最差
C. 該地區(qū)從該月7日到12日持續(xù)增大
D. 該地區(qū)的空氣質量指數與這段日期成負相關
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在正三棱錐中,側棱長為3,底面邊長為2,E,F分別為棱AB,CD的中點,則下列命題正確的是( )
A.EF與AD所成角的正切值為B.EF與AD所成角的正切值為
C.AB與面ACD所成角的余弦值為D.AB與面ACD所成角的余弦值為
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