Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的上頂點(diǎn)為，圓經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交圓于另一點(diǎn)．若△PQN的面積為3，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依據(jù)題意可得：，由圓經(jīng)過點(diǎn)可得：，問題得解。

（2）當(dāng)的斜率為0時(shí)，檢驗(yàn)得不合題意，可設(shè)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，設(shè)，，解得：，，由弦長公式可得：，由△PQN的面積為3列方程可得：，即可求得：，問題得解。

（1）因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，又圓經(jīng)過點(diǎn)，

所以． 所以橢圓的方程為．

（2）若的斜率為0，則，，

所以△PQN的面積為，不合題意，所以直線的斜率不為0．

設(shè)直線的方程為，由消得，

設(shè)，，

則，，

所以 .

直線的方程為，即，所以．

所以△PQN的面積 ，

解得，即直線的斜率為．