Question

18．已知拋物線y²=2px（p＞0），其準(zhǔn)線方程為x+1=0，直線l過(guò)點(diǎn)T（t，0）（t＞0）且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線方程，并證明：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值與直線l傾斜角的大小無(wú)關(guān)；
（2）若P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，記|PT|的最小值為函數(shù)d（t），求d（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意可知p=2，求得拋物線方程，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值與直線l傾斜角的大小無(wú)關(guān)；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得|PT|的最小值，求得d（t）的解析式．

解答 解：（1）由題意可知：準(zhǔn)線方程x=-1，則-$\frac{p}{2}$=-1，則p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=4x，
證明：若直線l的斜率不存在，則其方程為x=t，代入y²=4x得，A（t，2$\sqrt{t}$），B（t，-2$\sqrt{t}$），
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=t²-4t，
則若直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為$\frac{1}{m}$（k≠0），則l的方程為x=my+t，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4ky-4t=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4t，
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=m²y₁y₂+mt（y₁+y₂）+t²=t²．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=t²-4t，
綜上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值t²-4t與直線l傾斜角的大小無(wú)關(guān)；
（2）設(shè)P（x，2$\sqrt{x}$），則丨PT丨²=（x-t）²+（2$\sqrt{x}$-0）²=x²-2（t-2）x+t²，（x＞0），
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=t-2＜0，即0＜t＜2時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，丨PT丨取最小值，最小值為t，
當(dāng)t-2≥0時(shí)，即x=t-2時(shí)，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值為2$\sqrt{t-1}$，
d（t）的解析式，d（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{t-1}}&{t≥2}\\{t}&{0＜t＜2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．