分析 (1)由題意可知p=2,求得拋物線方程,當(dāng)直線斜率存在時,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值與直線l傾斜角的大小無關(guān);
(2)利用點到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得|PT|的最小值,求得d(t)的解析式.
解答 解:(1)由題意可知:準(zhǔn)線方程x=-1,則-$\frac{p}{2}$=-1,則p=2,
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=4x,
證明:若直線l的斜率不存在,則其方程為x=t,代入y2=4x得,A(t,2$\sqrt{t}$),B(t,-2$\sqrt{t}$),
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=t2-4t,
則若直線l的斜率存在,設(shè)其斜率為$\frac{1}{m}$(k≠0),則l的方程為x=my+t,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,整理得:y2-4ky-4t=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4k,y1y2=-4t,
x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2.
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=t2-4t,
綜上,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值t2-4t與直線l傾斜角的大小無關(guān);
(2)設(shè)P(x,2$\sqrt{x}$),則丨PT丨2=(x-t)2+(2$\sqrt{x}$-0)2=x2-2(t-2)x+t2,(x>0),
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)對稱軸x=t-2<0,即0<t<2時,當(dāng)x=0時,丨PT丨取最小值,最小值為t,
當(dāng)t-2≥0時,即x=t-2時,取最小值,丨PT丨取最小值,最小值為2$\sqrt{t-1}$,
d(t)的解析式,d(t)=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{t-1}}&{t≥2}\\{t}&{0<t<2}\end{array}\right.$.
點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查二次函數(shù)的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $[2,\;\;3+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}]$ | B. | $[2,\;\;3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$ | ||
C. | $[3-\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{4},\;\;3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$ | D. | $[3-\;\;\frac{{\sqrt{17}}}{2},\;\;3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}]$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015-2016學(xué)年吉林省高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
當(dāng)時,
的最小值為( )
A.10 B.12 C.14 D.16
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