Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax，若g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）＞g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（e^-2-$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 先將問題等價為：f'（x）_min＞g（x）_min，再分別對二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應區(qū)間上求最值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：根據(jù)任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）＞g（x₂）成立，
只需滿足：f'（x）_min＞g（x）_min，
而f'（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的對稱軸方程為x=-1，故x∈[$\frac{1}{2}$，2]時為增區(qū)間，
所以，f'（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=a+$\frac{5}{4}$，
g（x）=e^-x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函數(shù)單調遞減，
所以，g（x）_min=g（2）=e^-2，
因此，a+$\frac{5}{4}$＞e^-2，
解得a＞e^-2-$\frac{5}{4}$，
故答案為：（e^-2-$\frac{5}{4}$，+∞）．

點評 本題主要考查了不等式有解和恒成立的綜合問題，涉及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性和值域，以及導數(shù)的運算，屬于中檔題．