Question

15．給定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定義乘積a₁•a₂…a_k為整數的k（k∈N*）叫做“理想數”，則區(qū)間[1，2015]內的所有理想數的和為2026．

Answer 1

分析 a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），由a₁•a₂…a_k為整數得log₂3•log₃4…log_k（k+1）log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）為整數，設log₂（k+2）=m，則k+2=2^m，k=2^m-2；2¹¹=2048＞2015，即可得出區(qū)間[1，2015]內所有“期盼數”為：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴由a₁•a₂…a_k為整數得log₂3•log₃4…log_k（k+1）log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）為整數，
設log₂（k+2）=m，則k+2=2^m，
∴k=2^m-2；
∵2¹¹=2048＞2015，
∴區(qū)間[1，2015]內所有“期盼數”為：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4（{2}^{9}-1）}{2-1}$-18=2026．
故答案為：2026

點評 本題考查了新定義、等比數列的通項公式與求和公式、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．