Question

已知b=-a²+3lna，d=c+2，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、8

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)的最值及其幾何意義,直線與圓錐曲線的關系

專題：導數(shù)的綜合應用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設b=y，a=x，則y=3lnx-x²，設c=x，d=y，則y=x+2，從而（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答： 解：∵b=-a²+3lna，設b=y，a=x，
∴y=3lnx-x²
∵d=c+2，設c=x，d=y，∴y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²
就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，
對曲線y=3lnx-x²求導：y'（x）=

3

x

-2x，
與y=x+2平行的切線斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切點為（1，-1），
切點到直線y=x+2的距離：

|1+1+2|

2

=2

2

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故選：D．

點評：本題考查代數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．