Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+b，其中a，b∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程是3x+y+2=0，求a、b的值；
（2）若b=

9

2

，且關于x的方程f（x）=0有兩個不同的正實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，求出切線的斜率和切點，得到a，b的方程，解得即可；
（2）由于f（0）=b=

9

2

＞0，關于x的方程f（x）=0有兩個不同的正實數(shù)根，則有f（x）的極小值為負即可，通過導數(shù)的符號即可確定極小值點，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+b的導數(shù)f′（x）=x²+2ax，
則在點（-1，f（-1））處的切線斜率為：f′（-1）=1-2a，
由于在點（-1，f（-1））處的切線方程是3x+y+2=0，則1-2a=-3，
解得a=2，
又切點為（-1，1），則-

1

3

+2+b=1，
解得b=-

2

3

；
（2）函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+b的導數(shù)，
f′（x）=x²+2ax，
由于f（0）=b=

9

2

＞0，
關于x的方程f（x）=0有兩個不同的正實數(shù)根，
則有f（x）的極小值為負即可．
由f′（x）=x²+2ax=x（x+2a），
則0＜x＜-2a，f′（x）＜0，x＜0或x＞-2a，f′（x）＞0，
則有a＜0，且f（-2a）＜0，
即有a＜0，且

1

3

×（-8a³）+4a³+

9

2

＜0，
解得，a＜-

3

2

．
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

3

2

）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程、求極值，考查判斷能力和運算能力，屬于中檔題和易錯題．