Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c．
（1）求證：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0；
（2）現(xiàn)推廣如下：把

1

c-a

的分子改為一個(gè)大于1的正整數(shù)p，使得

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

＞0對(duì)任意a＞b＞c都成立，試寫(xiě)出一個(gè)p并證明之；
（3）現(xiàn)換個(gè)角度推廣如下：正整數(shù)m，n，p滿足什么條件時(shí)，

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

＞0對(duì)任意a＞b＞c都成立，請(qǐng)寫(xiě)出條件并證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用分析法，結(jié)合綜合法，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（1）由于a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0，
要證

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，
只需證明(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

)＞0．
左邊=[(a-b)+(b-c)](

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

)=1+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥3＞0，證畢．
（2）欲使

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

＞0，只需(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

)＞0，
左邊=[(a-b)+(b-c)](

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

)=2-p+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥4-p，
所以只需4-p＞0即可，即p＜4，所以可以取p=2，3代入上面過(guò)程即可．
（3）欲使

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

＞0，
只需(a-c)(

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

)＞0，
左邊=[(a-b)+(b-c)](

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

)=m+n-p+

m(b-c)

a-b

+

n(a-b)

b-c

≥m+n+2

mn

-p，
只需m+n+2

mn

-p＞0，即

m

+

n

＞

p

（m，n，p∈Z⁺）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查分析法與綜合法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．