Question

6．設(shè)y=（log₂x）²+（t-2）log₂x-t+1，若t∈[-2，2]時(shí)，y恒為正，求x的范圍．

Answer 1

分析 設(shè)y=f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，則f（t）是一次函數(shù)，當(dāng)t∈[-2，2]時(shí)，f（t）＞0恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，由此能求出x的取值范圍．

解答 解：設(shè)y=f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，
則f（t）是一次函數(shù)，當(dāng)t∈[-2，2]時(shí)，
f（t）＞0恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（lo{g}_{2}x）^{2}-4lo{g}_{2}x+3＞0}\\{（lo{g}_{2}x）^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得log₂x＜-1或log₂x＞3．
∴0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞8，
∴x的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（8，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)中自變量的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意換元法的合理運(yùn)用．