Question

17．已知函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．
（3）若g（x）=f（x）+kx在（1，3）是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用切線方程求出b=1，求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解f′（1）=1+a-1=0，推出a=0．
（2）求出f（x）=lnx-x+3的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，通過當(dāng)0＜x＜1時，當(dāng)x＞1時，導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出極值．
（3）由g（x）=f（x）+kx，則g（x）=lnx+（k-1）x+3（x＞0）求出導(dǎo)函數(shù)，利用g（x）在x∈（1，3）上是單調(diào)函數(shù)求出函數(shù)的最值然后推出k的范圍．

解答 解：（1）因為f（1）=（a+b）ln1-b+3=2，所以b=1；…（1分）
又f′（x）=$\frac{x}$+alnx+a-b=$\frac{1}{x}$+alnx+a-1，…（3分）
而函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2，
所以f′（1）=1+a-1=0，所以a=0；…（4分）
（2）由（1）得f（x）=lnx-x+3，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，…（5分）
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0；   …（6分）
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，…（7分）
所以f（x）有極大值f（1）=2，無極小值．
故f（x）的極大值為f（1）=2，無極小值； …（8分）
（3）由g（x）=f（x）+kx，則g（x）=lnx+（k-1）x+3（x＞0），
${g^'}（x）=\frac{1}{x}+k-1$，
又由g（x）在x∈（1，3）上是單調(diào)函數(shù)…（9分）
若g（x）為增函數(shù)時，有g(shù)（x）≥0
所以有${g^，}（x）=\frac{1}{x}+k-1≥0，即k≥1-\frac{1}{x}在x∈（1，3）上恒成立$，$又1-\frac{1}{x}∈（0，\frac{2}{3}）$，所以$k≥\frac{2}{3}$…（10分）
若g（x）為減函數(shù)時，有g(shù)（x）≤0
所以有${g^，}（x）=\frac{1}{x}+k-1≤0，即k≤1-\frac{1}{x}在x∈（1，3）上恒成立$，$又1-\frac{1}{x}∈（0，\frac{2}{3}）$，所以k≤0…（11分）
故綜上$k∈（-∞，0]∪[\frac{2}{3}，+∞）$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的切線方程，函數(shù)的極值以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．