Question

已知函數(shù)f（x）=m•6^x-4^x，m∈R．
（1）當(dāng)m=

4

15

時，求滿足f（x+1）＞f（x）的實數(shù)x的范圍；
（2）若f（x）≤9^x對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=

4

15

時，f（x+1）＞f（x）即可化簡得，（

2

3

）^x＜

4

9

，由單調(diào)性即可得到；
（2）f（x）≤9^x對任意的x∈R恒成立即m≤

9x+4x

6x

=（

2

3

）^-x+（

2

3

）^x對任意的x∈R恒成立，運用基本不等式即可得到最小值，令m不大于最小值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)m=

4

15

時，f（x+1）＞f（x）
即為

4

15

•6^x+1-4^x+1＞

4

15

•6^x-4^x，
化簡得，（

2

3

）^x＜

4

9

，
解得x＞2．
則滿足條件的x的范圍是（2，+∞）；
（2）f（x）≤9^x對任意的x∈R恒成立即為m•6^x-4^x≤9^x，
即m≤

9x+4x

6x

=（

2

3

）^-x+（

2

3

）^x對任意的x∈R恒成立，
由于（

2

3

）^-x+（

2

3

）^x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0取最小值2．
則m≤2．
故實數(shù)m的范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查指數(shù)不等式的解法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查不等式的恒成立問題，運用分離參數(shù)的方法和基本不等式求最值，屬于中檔題．