已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1．
（1）求證：數(shù)列{
1bn
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}通項公式；
（2）數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，令Tn=S2n-Sn，求Tn的最小值．
分析：（1）由已知利用等差數(shù)列的定義即可證明，再利用通項公式即可；
（2）證明Tn是遞增數(shù)列即可得出．
解答：解：（1）2an=1+anan+1，bn=an-1，
∴bn-bn+1=bnbn+1，
∴
1
bn+1
-
1
bn
=1，
∴數(shù)列{
1
bn
}是公差為1，首項為1等差數(shù)列，
∴
1
bn
=n，即bn=
1
n
，
∴an=
1
n
+1，即bn=
1
n
．
（2）Tn=S2n-Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，
∵Tn+1-Tn=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
＞0
∴{Tn}單調(diào)遞增                   
∴Tn≥T1=
1
2
，
∴Tn的最小值為
1
2
．
點評：熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項公式、遞增數(shù)列等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a為公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
．
（1）當(dāng)m=1時，求證：對于任意的實數(shù)λ，{an}一定不是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)λ=-
1
2
時，試判斷{bn}是否為等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列，n∈N*，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
12
，3]？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ為實數(shù)，且λ≠-18，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）求證：{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
bn
1-4 
a
2
n
．
（I）證明：數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3…bnbn+1 
對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)k．

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