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5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x軸為始邊做銳角α和鈍角β,它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn),已知A、B的縱坐標(biāo)分別為55,1010
(1)求tan(2α-β)的值; 
(2)求β-α的值.

分析 (1)根據(jù)題意,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα,cosβ,tanα,tanβ,進(jìn)而利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α,根據(jù)兩角差的正切函數(shù)公式即可計(jì)算tan(2α-β)的值.
(2)由(1)利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos(β-α)的值,結(jié)合范圍β-α∈(0,π),即可得解β-α的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)根據(jù)題意得sinα=55,sinβ=1010,…(1分)
cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5},cosβ=\frac{{-3\sqrt{10}}}{10},…(2分)
tanα=\frac{1}{2},tanβ=-\frac{1}{3},…(3分)
tan2α=\frac{4}{3},…(4分)
∴tan(2α-β)=\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}=3.…(6分)
(2)cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα…(7分)
=-\frac{{\sqrt{2}}}{2},…(10分)
∵由題意β-α∈(0,π),
∴β-α=\frac{3π}{4}.…(12分)

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的正切函數(shù)公式,兩角差的正切函數(shù)公式,兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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