Question

12．如圖，在△ABC中，AB=BC=$\sqrt{6}$，∠ABC=90°，點D為AC的中點，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，連接PC，得到三棱錐P-BCD，若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（　�。�

• A． π
• B． 3π
• C． 5π
• D． 7π

Answer 1

分析 由題意得該三棱錐的面PCD是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱錐P-BDC外接球半徑R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，由此能示出該球的表面積．

解答 解：由題意得該三棱錐的面PCD是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，
且BD⊥平面PCD，
設(shè)三棱錐P-BDC外接球的球心為O，
△PCD外接圓的圓心為O₁，則OO₁⊥面PCD，
∴四邊形OO₁DB為直角梯形，
由BD=$\sqrt{3}$，O₁D=1，及OB=OD，得OB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴外接球半徑為R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴該球的表面積S=4πR²=4$π×\frac{7}{4}$=7π．
故選：D．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三棱錐的外接球的性質(zhì)的合理運用．