Question

2． 如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．
（Ⅰ）若M為PA的中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成角為45°，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)PC交DE于點(diǎn)N，連結(jié)MN，推導(dǎo)出MN∥AC，由此能證明AC∥平面MDE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出∠PBD為PB與平面ABCD所成角，從而PD=BD=$\sqrt{2}$，設(shè)D到平面PBC的距離為d，由S_△BDC•PD=S_△PBC•d，能求出點(diǎn)D到平面PBC的距離．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)PC交DE于點(diǎn)N，連結(jié)MN，
在△PAC中，∵M(jìn)，N分別為PA，PC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，又AC?平面MDE，MN?平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（Ⅱ）∵平面PDCE⊥平面ABCD，四邊形PDCE為矩形，
∴PD⊥平面ABCD，∴∠PBD為PB與平面ABCD所成角，
∵PB與平面ABCD所成角為45°，
∴PD=BD=$\sqrt{2}$，
設(shè)D到平面PBC的距離為d，
∴$\frac{1}{3}$S_△BDC•PD=$\frac{1}{3}$S_△PBC•d，
∵${S}_{△BDC}=1，{S}_{△PBC}=\sqrt{2}$，
∴d=1，
∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．