Question

17．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為a的正方體，有下列說(shuō)法：
①若點(diǎn)P在△BDC₁所在平面上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐P-AB₁D₁的體積為定值；
②直線(xiàn) A₁C與平面BDC₁的交點(diǎn)為△BDC₁的外心；
③若點(diǎn)M、N、L分別是棱A₁B₁，A₁D₁，A₁A上與端點(diǎn)不重合的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△MNL必為銳角三角形；
④若點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁（包含邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足GQ⊥A₁C，則動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是以A₁為圓心，$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$a為半徑的一段圓�。�
其中正確說(shuō)法有①②③（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）

Answer 1

分析 抓住正方體的特征，依次對(duì)每一個(gè)選擇判斷即可得到答案．

解答 解：對(duì)于①：點(diǎn)P在△BDC₁所在平面上運(yùn)動(dòng)，平面△BDC₁與平面AB₁D₁之間的距離就是三棱錐P-AB₁D₁高沒(méi)有變，而底面積AB₁D₁也沒(méi)有變，則三棱錐P-的體積為定值；故①正確．
對(duì)于②：連接BD₁，BD₁與直線(xiàn) A₁C垂直，A₁C垂直平面BDC₁，與BD₁交點(diǎn)正方體的中心，即也是長(zhǎng)方形ABC₁D₁對(duì)角線(xiàn)，所以為△BDC₁的外心．故②正確．
對(duì)于③：點(diǎn)M、N、L分別是棱A₁B₁，A₁D₁，A₁A上與端點(diǎn)不重合的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN，ML，NL形成的直線(xiàn)的夾角小于90°，則△MNL必為銳角三角形；故③正確．
對(duì)于④：若點(diǎn)Q為A₁A的中點(diǎn)，點(diǎn)G為正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁（包含邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足GQ⊥A₁C，則動(dòng)點(diǎn)G是接連A₁B₁，A₁D₁中點(diǎn)的線(xiàn)段．故④不正確．
綜上所述：正確的是：①②③
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假的判斷與運(yùn)用能力，以正方體的幾何特征為載體，考查體積的變化，角度的變化以及動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形．屬于中檔題．