Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|
（1）解不等式f（x）＜1；
（2）若$?x∈R，f（x）≥{log_{\frac{1}{3}}}（m-3）$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（2）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為$lo{g}_{\frac{1}{3}}（m-3）$≤-3，解出即可．

解答 解：（1）x≥2時(shí)：f（x）=x-2-x-1=-3＜1，成立，
-1＜x＜2時(shí)：f（x）=2-x-x-1=1-2x＜1，解得：0＜x＜2，
x≤-1時(shí)：f（x）=2-x+x+1=3＜1不成立，
故不等式的解集是（0，+∞）；
（Ⅱ）由（1）可知f（x）的最小值是-3，
若$?x∈R，f（x）≥{log_{\frac{1}{3}}}（m-3）$，
即有f（x）_min≥$lo{g}_{\frac{1}{3}}（m-3）$，
即有$lo{g}_{\frac{1}{3}}（m-3）$≤-3，解得：m≥30，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[30，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．