14.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),a≥0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),令g(x)=2ax2+ax+1-a=2a(x+$\frac{1}{4}$)2+1-$\frac{9a}{8}$,通過(guò)a的范圍,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的范圍即可.

解答 解:(1)函數(shù)的定義域是(-1,+∞),
a=1時(shí),f(x)=ln(x+1)+x2-x,
f′(x)=$\frac{x(2x+1)}{x+1}$,
令f′(x)>0,解得:x>-$\frac{1}{2}$,令f′(x)<0,解得:x<-$\frac{1}{2}$,
得:f(x)在(-1,-$\frac{1}{2}$)遞增,在(-$\frac{1}{2}$,0)遞減,在(0,+∞)遞增,
∴x=-$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)取得極大值f(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{3}{4}$-ln2,
x=0時(shí),f(x)取得極小值f(0)=0;
(2)f′(x)=$\frac{2{ax}^{2}+ax+1-a}{x+1}$,
令g(x)=2ax2+ax+1-a=2a(x+$\frac{1}{4}$)2+1-$\frac{9a}{8}$,
①若1-$\frac{9a}{8}$≥0,即0≤a≤$\frac{8}{9}$,則g(x)≥0在(0,+∞)恒成立,
從而f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)遞增,
而f(0)=0,∴0≤a≤$\frac{8}{9}$符合題意;
②若1-$\frac{9a}{8}$<0,即a>$\frac{8}{9}$,
由于g(-1)=1>0,g(1)=2a+1>0,
則g(x)在(-1,+∞)有2個(gè)零點(diǎn),
從而函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<-$\frac{1}{4}$<x2,
(i)當(dāng)$\frac{8}{9}$≤a≤1時(shí),∵g(0)≥0,可知x≥0時(shí),f′(x)≥0恒成立,
x>0時(shí),f(x)>f(0)=0成立,
(ii)a>1時(shí),g(0)<0,可知f(x)在(0,x2)遞減,
∵f(0)=0,故不能滿足題意,
綜上 a∈[0,1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.$\overline{y}$=2$\overline{x}$+3,sB2=2sB2+3B.$\overline{y}$=2$\overline{x}$+3,sB2=4sA2
C.$\overline{y}$=2$\overline{x}$,sB2=4sA2D.$\overline{y}$=2$\overline{x}$,sB2=4sA2+3

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9.${(x+\frac{1}{{\sqrt{x}}})^n}$展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值是( 。
A.790B.680C.462D.330

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19.某校高二奧賽班N名學(xué)生的物理測(cè)評(píng)成績(jī)(滿分120分)分布直方圖如圖,已知分?jǐn)?shù)在100~110的學(xué)生數(shù)有21人.
(Ⅰ)求總?cè)藬?shù)N和分?jǐn)?shù)在110~115分的人數(shù)n;
(Ⅱ)現(xiàn)準(zhǔn)備從分?jǐn)?shù)在110~115分的n名學(xué)生(女生占$\frac{1}{3}$)中任選2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)為了分析某個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議,對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)x(滿分150分),物理成績(jī)y進(jìn)行分析,下面是該生7次考試的成績(jī).
數(shù)學(xué)888311792108100112
物理949110896104101106
已知該生的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x是線性相關(guān)的,若該生的數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到130分,請(qǐng)你估計(jì)他的物理成績(jī)大約是多少?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{({u_i}-\overline u)({v_i}-\overline v)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({u_i}-\overline u)}^2}}}},\;\hat α=\overline v-\hat β\overline u$.

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