Question

18．已知關(guān)于x的不等式 alnx＞1-$\frac{1}{x}$對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx-1（x＞1），求其導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，由f（1）=0，可得f（x）在（1，+∞）上恒小于0，不合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，由$\frac{1}{a}$與1的關(guān)系分類(lèi)，可知a≥1，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，由f（1）=0，可得f（x）在（1，+∞）上恒大于0，符合題意；0＜a＜1，則當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，由f（1）=0，可得f（x）在（1，+∞）上恒大于0不成立，由上即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx-1（x＞1），
f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
由f（1）=0，可得f（x）在（1，+∞）上恒小于0，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，
若$\frac{1}{a}≤1$，即a≥1，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
由f（1）=0，可得f（x）在（1，+∞）上恒大于0，符合題意；
若$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜1，則當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
由f（1）=0，可得f（x）在（1，+∞）上恒大于0不成立，不合題意．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是中檔題．