Question

某企業(yè)某年生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過(guò)合理定價(jià)及促銷(xiāo)活動(dòng)，確保產(chǎn)銷(xiāo)平衡（根據(jù)市場(chǎng)情況確定產(chǎn)量，使該年所生產(chǎn)產(chǎn)品剛好全部銷(xiāo)售完畢），年產(chǎn)量、年銷(xiāo)量均為x萬(wàn)件．已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件產(chǎn)品需投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，另外該年生產(chǎn)設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用總共為4萬(wàn)元．每件產(chǎn)品定價(jià)為平均每件生產(chǎn)成本的150%進(jìn)行銷(xiāo)售，年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足關(guān)系：（k為常數(shù)），當(dāng)年促銷(xiāo)費(fèi)用t=0萬(wàn)元時(shí)年銷(xiāo)量是x=2萬(wàn)件．
（Ⅰ）將年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（Ⅱ）該企業(yè)年促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？相應(yīng)年產(chǎn)量及最大年利潤(rùn)為多少？
注：生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用  （不包括促銷(xiāo)費(fèi)用）
利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，x=6-，將t=0，x=2代入得k=4，年銷(xiāo)售量x=6-，t≥0．產(chǎn)銷(xiāo)平衡即年產(chǎn)量等于年銷(xiāo)量x萬(wàn)件，由此分別求出年生產(chǎn)成本和年銷(xiāo)售收入，由此能（將年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)．
（Ⅱ）由y=98-=99-（t+1+），t≥0，利用均值不等式能求出當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大，并能求出此時(shí)年產(chǎn)量和年利潤(rùn)最大值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，x=6-，將t=0，x=2代入得k=4，
∴年銷(xiāo)售量x=6-，t≥0．
依題意，產(chǎn)銷(xiāo)平衡即年產(chǎn)量等于年銷(xiāo)量x萬(wàn)件，
∴當(dāng)年生產(chǎn)量為x萬(wàn)件時(shí)，
年生產(chǎn)成本=32x+4=32（6-）+4=196-，
平均每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本=（196-）÷x，
年銷(xiāo)售收入=[（196-）÷x]×=，
∴年利潤(rùn)y=-（196-）-t=98--t，t≥0．
（Ⅱ）∵y=98-=99-（t+1+），t≥0
∴t+1+≥2=16，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t+1=，即t=7時(shí)，y_max=99-16=83．
∴當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大，
此時(shí)年產(chǎn)量x=5.5萬(wàn)件，年利潤(rùn)最大值為83萬(wàn)元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于難題．