Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{x^2+a}{x+1}（a∈R）$
（Ⅰ）若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，即可求解實數(shù)a的值；
（Ⅱ）利用極值點求出a，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的符號，求解單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{x^2+a}{x+1}（a∈R）$，
${f^'}（x）=\frac{{{x^2}+2x-a}}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，
∴${f^'}（1）=\frac{1}{2}，解得a=1$…（4分）．
（Ⅱ）∵f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=0，解得a=3，
∴${f^'}（x）=\frac{{{x^2}+2x-3}}{{{{（x+1）}^2}}}$（x≠-1）…（6分）
由f′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1；
由f′（x）＜0，解得-3＜x＜1且x≠-1；
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-3）和（1，+∞），
單調(diào)減區(qū)間是（-3，-1）和（-1，1）．…10分

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，單調(diào)區(qū)間以及切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．