Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x-2y-7=0垂直，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：f（x）≥1恒成立的充要條件是a=1．

Answer 1

分析 （1）利用曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x-2y-7=0垂直，求出a的值，利用導數(shù)的正負求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分充分性、必要性證明，即可證明f（x）≥1恒成立的充要條件是a=1．

解答 （1）解：因為$f'（x）=1-\frac{a}{x}$，所以f'（1）=1-a，
所以$\frac{1}{2}（1-a）=-1$，解得a=3．
令$f'（x）=1-\frac{3}{x}＞0$，得x＞3，所以f（x）得單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+∞），
令$f'（x）=1-\frac{3}{x}＜0$，得0＜x＜3，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3）．
（2）證明：①充分性．
當a=1時，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
所以當x＞1時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
當0＜x＜1時，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
所以f（x）≥f（1）=1．
②必要性．$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，其中x＞0．
（i）當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
而f（1）=1，所以當x∈（0，1）時，f（x）＜1，與f（x）≥1恒成立矛盾，
所以a≤0不滿足題意．
（ii）當a＞0時，
因為當x＞a時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)；
當0＜x＜a時，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，a）上是減函數(shù)．
所以f（x）≥f（a）=a-alna，
因為f（1）=1，所以當a≠1時，f（a）＜f（1）=1，此時與f（x）≥1恒成立矛盾，
所以a=1．
綜上所述，f（x）≥1恒成立的充要條件是a=1．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查充要性的證明，屬于中檔題．