Question

14．為了廢物利用，準備把半徑為2，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形鐵片余料剪成如圖所示的內(nèi)接矩形ABCD．試用圖中α表出內(nèi)接矩形ABCD的面積S．

Answer 1

分析 先用所給的角表示AB，BC，即可將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型．

解答 解：如圖，在Rt△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，
在Rt△OAD中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以AB=OB-OA=2cosα-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
設矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=（2cosα-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα）•2sinα=4sinαcosα-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²α
=2sin2α+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos2α-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（0＜α＜$\frac{π}{3}$）．

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡．