Question

9．已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）上的兩個不同點，且x₁＜x₂，則對于下列四個不等式：
①$\frac{{sin{x_1}}}{x_1}＜\frac{{sin{x_2}}}{x_2}$；
②sinx₁＜sinx₂；
③$\frac{1}{2}（{sin{x_1}+sin{x_2}}）＞sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
④$sin\frac{x_1}{2}＞sin\frac{x_2}{2}$．
其中正確不等式的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 對于①根據(jù)斜率公式判斷即可，對于②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可，對于③④根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可

解答 解：①由于$\frac{sin{x}_{1}}{{x}_{1}}$表示直線OA的斜率，$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$表示直線OB的斜率，A在第三象限時，與原點連線斜率為正，B在第四象限時，與原點所連直線斜率為負，
故①不正確；
②由于函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）的單調(diào)性不確定，故由x₁＜x₂，不能推出①sinx₁＜sinx₂ ． 故②sinx₁＜sinx₂ ，不一定成立．
③由于函數(shù)y=sinx的圖象在（-$\frac{π}{2}$，0）上是下凹型的，而$\frac{1}{2}$（sinx₁+sinx₂）表示線段AB中點的縱坐標，故有③$\frac{1}{2}（{sin{x_1}+sin{x_2}}）＞sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
成立．
④由題意可得-$\frac{π}{2}$＜$\frac{{x}_{1}}{2}$＜$\frac{{x}_{2}}{2}$＜0，而函數(shù)y=sinx在（-$\frac{π}{2}$，0）上是增函數(shù)，故有sin$\frac{{x}_{1}}{2}$＜sin$\frac{{x}_{2}}{2}$成立，故④不正確．
故③正確．
故選：B．

點評 本題主要正弦函數(shù)的單調(diào)性，線段的中點公式以及直線的斜率公式的應用，屬于基本知識的考查．