Question

13．設(shè)x，y，a∈R^*，且當(dāng)x+2y=1時，$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值為6$\sqrt{3}$，則當(dāng)$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1時，3x+ay的最小值是（　�。�

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． 12
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題設(shè)條件，可在$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$上乘以x+2y構(gòu)造出積為定值的形式，由基本不等式求得$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值為3+2a+2$\sqrt{6a}$，從而得到3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，同理可得當(dāng)$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1時，3x+ay 的最小值是3+2a+2$\sqrt{6a}$，即可求得3x+ay 的最小值是6$\sqrt{3}$．

解答 解：由題意x，y，a∈R⁺，且當(dāng)x+2y=1 時，$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值為6$\sqrt{3}$，
由于$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$=（$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$）（x+2y）=3+2a+$\frac{6y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥3+2a+2$\sqrt{6a}$，
等號當(dāng)$\frac{6y}{x}$=$\frac{ax}{y}$時取到．
故有3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，
∴3x+ay=（3x+ay ）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=3+2a+$\frac{ay}{x}$+$\frac{6x}{y}$≥3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，
等號當(dāng)$\frac{ay}{x}$=$\frac{6x}{y}$時取到．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，及構(gòu)造出積為定值的技巧，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件構(gòu)造出積為定值的技巧，從而得出3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，本題中有一疑點(diǎn)，即兩次利用基本不等式時，等號成立的條件可能不一樣，此點(diǎn)不影響利用3+2a+2$\sqrt{6a}$求出3x+ay 的最小值是6$\sqrt{3}$，這是因?yàn)?+2a+2$\sqrt{6a}$是一個常數(shù)，本題是一個中檔題目．