【題目】如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,PD底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為.
(1)證明:平面PDC;
(2)已知PDAD1,Q為上的點,QB=,求PB與平面QCD所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)利用線面平行的判定定理以及性質定理,證得,利用線面垂直的判定定理證得平面,從而得到平面;
(2)根據題意,建立相應的空間直角坐標系,得到相應點的坐標,設出點,之后求得平面的法向量以及向量的坐標,求得,即可得到直線與平面所成角的正弦值.
(1)證明:
在正方形中,,
因為平面,平面,
所以平面,
又因為平面,平面平面,
所以,
因為在四棱錐中,底面是正方形,所以
且平面,所以
因為
所以平面;
(2)如圖建立空間直角坐標系,
因為,則有,
設,則有,
因為QB=,所以有
設平面的法向量為,
則,即,
令,則,所以平面的一個法向量為,則
根據直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值,所以直線與平面所成角的正弦值等于
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】在直角坐標系中,傾斜角為的直線經過坐標原點,曲線的參數方程為(為參數).以點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求與的極坐標方程;
(2)設與的交點為、,與的交點為、,且,求值.
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【題目】日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40°,則晷針與點A處的水平面所成角為( )
A.20°B.40°
C.50°D.90°
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【題目】若函數滿足:對于任意正數,都有,且,則稱函數為“L函數”.
(1)試判斷函數與是否是“L函數”;
(2)若函數為“L函數”,求實數a的取值范圍;
(3)若函數為“L函數”,且,求證:對任意,都有.
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【題目】已知二次函數的定義域恰是不等式的解集,其值域為,函數的定義域為,值域為.
(1)求定義域和值域;
(2)試用單調性的定義法解決問題:若存在實數,使得函數在上單調遞減,上單調遞增,求實數的取值范圍并用表示;
(3)是否存在實數,使成立?若存在,求實數的取值范圍,若不存在,說明理由.
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