Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2x-8，
（1）若對x＞3，不等式f（x）＞（m+2）x-m-15恒成立，求實數(shù)m的取值范圍
（2）記h（x）=-$\frac{1}{2}$f（x）-4，那么當x≥$\frac{1}{2}$時，是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n）使得函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）＞（m+2）x-m-15轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，然后列出不等式組，求解即可得實數(shù)m的取值范圍．
（2）利用配方法求出h（x），進一步得到h（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，然后分類討論即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=x²-2x-8，x²-2x-8＞（m+2）x-m-15，即x²-（m+4）x+7+m＞0對x＞3恒成立，
則①$\left\{\begin{array}{l}\frac{m+4}{2}≤3\\ 9-3（m+4）+m+7≥0\end{array}\right.$或②△=（m+4）²-4（m+7）≤0
解得①m≤2或 ②-6≤m≤2
綜合得m的取值范圍為（-∞，2]．
（2）$h（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}$，$kn≤h（x）_{max}=\frac{1}{2}n≤\frac{1}{2k}$，又$k≥\frac{1}{2}$，
∴n≤1，∴h（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，$\left\{\begin{array}{l}{h（m）=km}\\{h（n）=kn}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=km}\\{-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=kn}\end{array}\right.$，
m，n是方程-$\frac{1}{2}$x²+（1-k）x=0的兩根，
∴x₁=0，x₂=2-2k．
∴當$\frac{1}{2}≤k＜1$時，[m，n]=[0，2-2k]，
當k＞1時，[m，n]=[2-2k，0]，
當k=1時，不存在區(qū)間．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．