Question

6．已知m∈R，直線l：mx-（m²+1）y-4m=0和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）是否存在直線l和圓C交于M，N兩點，且M，N把圓弧分割成1：3的兩部分？如果存在，求出該直線l的方程，如不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）寫出直線的斜率利用判別式求最值；
（2）M，N把圓弧分割成1：3的兩部分，則CM⊥CN，確定圓心C到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）直線l的方程可化為y=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$x-$\frac{4m}{{m}^{2}+1}$，斜率k=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$，
即km²-m+k=0，k=0時，m=0成立；
又∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）M，N把圓弧分割成1：3的兩部分，則CM⊥CN．由（1）知l的方程為y=k（x-4），其中|k|≤$\frac{1}{2}$；
圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2；圓心C到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$
∴k=±1
∴直線l的方程y=±（x-4）．

點評 本題考查直線與圓及不等式知識的綜合應(yīng)用，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．