Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：
（1）對(duì)?x∈R，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0恒成立；
（2）函數(shù)y=f（x+2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱．
（3）對(duì)?x，y∈R，有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，則當(dāng)0＜x＜4時(shí)，x²+y²的取值范圍是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：依題意，知y=f（x）為R上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)，且滿足（x-4）²+（y-3）²＜4，作出圖形，利用x²+y²的幾何意義可求得當(dāng)0＜x＜4時(shí)，x²+y²的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x+2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即y=f（x）為奇函數(shù)；
又對(duì)?x∈R，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0恒成立，
∴y=f（x）為R上的減函數(shù)；
∵?x，y∈R，有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，
∴f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）
∴6y-y²＞x²-8x+21，
∴（x-4）²+（y-3）²＜4．
作圖如下：

∵x²+y²的幾何意義為圓內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）的距離的平方，
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，由圖可知，點(diǎn)M（4，5）到原點(diǎn)的距離最大，|MO|²=5²+4²=41；
點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離最小，|NO|=5-2=3，|NO|²=9，
∴x²+y²的取值范圍是（9，41）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，著重考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．