Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a．
（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，可知：函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，即可得出a．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a的圖象的對(duì)稱軸為直線x=a．根據(jù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得a≤1．
（3）函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=a，對(duì)a分類討論即可得出．

解答 解：（1）由對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，可知：函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，即a=1．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a的圖象的對(duì)稱軸為直線x=a．
y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得，a≤1．
（3）函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=a，
當(dāng)a＜0時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：f（x）_max=1-a．
當(dāng)a＞0時(shí)，x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：f（x）_max=1+3a．
當(dāng)a=0時(shí)，x=±1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：f（x）_max=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．