Question

19．甲、乙兩同學進行定點投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為$\frac{2}{3}$，且各次投籃的結(jié)果互不影響，甲同學決定投4次，乙同學決定一旦投中就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃總次數(shù)不超過4次．
（Ⅰ）求甲同學至少投中3次的概率；
（Ⅱ）求乙同學投籃次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)甲同學在四次投籃中，“至少投中3次”的概率為P，利用n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式能求出甲同學至少投中3次的概率．
（Ⅱ）由題意知X可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲同學在四次投籃中，“至少投中3次”的概率為P，
則P=${C}_{4}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）+{C}_{4}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{27}$．
（Ⅱ）由題意知X可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{27}$，
P（X=4）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
∴X的概率分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{1}{27}$

E（X）=$1×\frac{2}{3}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{2}{27}+4×\frac{1}{27}$=$\frac{40}{27}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式的合理運用．