Question

14．（1）用分析法證明：$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$；
（2）用反證法證明：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，尋找使不等式成立的充分條件．
（2）假設(shè)$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義，分析出矛盾，進(jìn)而得到原結(jié)論成立．

解答 證明（1）要證明$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$；
只要證$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，
只要證（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²＞（$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$）²，
只要證13+2$\sqrt{42}$＞13+2$\sqrt{40}$，
只要證$\sqrt{42}$＞$\sqrt{40}$
即證 42＞40．  而 42＞40  顯然成立，故原不等式成立
（2）證明：假設(shè)$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，
則存在整數(shù)m，n滿足
$\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$+md    ①
$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+nd   ②
①×n-②×m得：$\sqrt{3}$n-$\sqrt{5}$m=$\sqrt{2}$（n-m） 
兩邊平方得：3n²+5m²-2$\sqrt{15}$mn=2（n-m）²
左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)≠無(wú)理數(shù)
所以，假設(shè)不正確．
故$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用分析法證明不等式，以及反證法，熟練掌握反證法的適用范圍及證明步驟是解答的關(guān)鍵，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．