Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，D，F分別是棱BC，B₁C₁的中點，E是棱CC₁上的一點．求證：
（1）直線A₁F∥平面ADE；
（2）直線A₁F⊥直線DE．

Answer 1

分析 （1）連結DF，證明四邊形AA₁FD為平行四邊形，得出A₁F∥AD，從而證明A₁F∥平面ADE；
（2）證明AD⊥BC，且AD⊥BB₁，得出AD⊥平面BB₁C₁C，從而證明直線AD⊥直線DE．

解答 解：（1）證明：連結DF，
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，D，F分別是棱BC，B₁C₁上的中點，
所以DF∥BB₁且DF=BB₁，AA₁∥BB₁且AA₁=BB₁；
所以DF∥AA₁且DF=AA₁，
所以四邊形AA₁FD為平行四邊形，…（4分）
所以A₁F∥AD，
又因為A₁F?平面ADF，AD?平面ADF，
所以直線A₁F∥平面ADE；      …（6分）
（2）證明：因為AB=AC，D是棱BC的中點，
所以AD⊥BC；…（8分）
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
所以BB₁⊥平面ABC；
又因為AD?平面ABC，
所以AD⊥BB₁；             …（10分）
因為BC，BB₁?平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面BB₁C₁C，…（12分）
又因為DE?平面BB₁C₁C，
所以直線AD⊥直線DE．     …（14分）

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了推理與證明能力的應用問題，是綜合性題目．