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20.在直角坐標(biāo)系中,已知射線OA:x-y=0(x≥0),OB:2x+y=0(x≥0).過點(diǎn)P(1,0)作直線分別交射線OA,OB于點(diǎn)A,B.
(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)在直線x-2y=0上時(shí),求直線AB的方程;
(2)當(dāng)△AOB的面積取最小值時(shí),求直線AB的方程.
(3)當(dāng)PA•PB取最小值時(shí),求直線AB的方程.

分析 (1)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),則線段AB的中點(diǎn)為Ca+b2a2b2.可得a+b2-2×a2b2=0,aa1=2bb1,聯(lián)立解出a,b,即可得出.
(2)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),(a,b>0).a(chǎn)=b=1時(shí),A(1,1),B(1,-2),S△OAB=12×|OP|×|AB|.a(chǎn),b≠1時(shí),S△OAB=12×|OP|×(a+2b)=12(a+2b),又aa1=2b1b,化為a+2b=3ab,利用基本不等式的性質(zhì)可得a+2b的取值范圍.
(3)設(shè)直線AB的方程為:my=x-1.m112.聯(lián)立{my=x1x=y,解得A11m11m,可得|PA|=1+m2|1m|.同理可得|PB|=21+m2|1+2m|.可得|PA||PB|.進(jìn)而得出最小值.

解答 解:(1)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),則線段AB的中點(diǎn)為Ca+b2a2b2
a+b2-2×a2b2=0,aa1=2bb1,
分別化為:a=5b,a+2b-3ab=0.
解得:{a=73b=715
∴直線AB的方程為:y-0=73731(x-1),化為:7x-4y-7=0.
(2)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),(a,b>0).
a=b=1時(shí),A(1,1),B(1,-2),S△OAB=12×|OP|×|AB|=12×1×3=32
a,b≠1時(shí),S△OAB=12×|OP|×(a+2b)=12(a+2b),
aa1=2b1b,化為a+2b=3ab,
∴a+2b=3ab=32×a2b32×a+2b22,解得:a+2b≥83
∴S△OAB12×83=43,
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=43時(shí)取等號.
綜上可得:當(dāng)△AOB的面積取最小值43時(shí),直線AB的方程為:y=43431(x-1),化為:4x-y-4=0.
(3)設(shè)直線AB的方程為:my=x-1.m112
聯(lián)立{my=x1x=y,解得A11m11m,可得|PA|=111m2+11m2=1+m2|1m|
聯(lián)立{my=x12x+y=0,解得B11+2m21+2m,可得|PB|=111+2m2+21+2m2=21+m2|1+2m|
∴|PA|•|PB|=21+m2|1m1+2m|=21+m2|2m2m1|=2|2m+31+m2|=f(m),
m=-3時(shí),f(-3)=1;
令m+3=k≠0,f(m)=g(k)=2|2kk26k+10|=2|21k+10k6|
k<0時(shí),g(k)=2|2+1k+10k+6|2|2+1210+6|=12+41013+410
k>0時(shí),g(k)=2|21k+10k6|2|212106|=4101213410,
12+41013+4104101213410,
∴g(k)的最小值為:12+41013+410
當(dāng)且僅當(dāng)k=-10時(shí)取等號.
∴m=-10-3.
∴直線AB的方程為:(-10-3)y=x-1.

點(diǎn)評 本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、直線的方程,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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