分析 (1)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),則線段AB的中點(diǎn)為C(a+b2,a−2b2).可得a+b2-2×a−2b2=0,aa−1=−2bb−1,聯(lián)立解出a,b,即可得出.
(2)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),(a,b>0).a(chǎn)=b=1時(shí),A(1,1),B(1,-2),S△OAB=12×|OP|×|AB|.a(chǎn),b≠1時(shí),S△OAB=12×|OP|×(a+2b)=12(a+2b),又aa−1=2b1−b,化為a+2b=3ab,利用基本不等式的性質(zhì)可得a+2b的取值范圍.
(3)設(shè)直線AB的方程為:my=x-1.(m≠1,−12).聯(lián)立{my=x−1x=y,解得A(11−m,11−m),可得|PA|=√1+m2|1−m|.同理可得|PB|=2√1+m2|1+2m|.可得|PA||PB|.進(jìn)而得出最小值.
解答 解:(1)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),則線段AB的中點(diǎn)為C(a+b2,a−2b2).
∴a+b2-2×a−2b2=0,aa−1=−2bb−1,
分別化為:a=5b,a+2b-3ab=0.
解得:{a=73b=715,
∴直線AB的方程為:y-0=7373−1(x-1),化為:7x-4y-7=0.
(2)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),(a,b>0).
a=b=1時(shí),A(1,1),B(1,-2),S△OAB=12×|OP|×|AB|=12×1×3=32.
a,b≠1時(shí),S△OAB=12×|OP|×(a+2b)=12(a+2b),
又aa−1=2b1−b,化為a+2b=3ab,
∴a+2b=3ab=32×a•2b≤32×(a+2b2)2,解得:a+2b≥83.
∴S△OAB≥12×83=43,
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=43時(shí)取等號.
綜上可得:當(dāng)△AOB的面積取最小值43時(shí),直線AB的方程為:y=4343−1(x-1),化為:4x-y-4=0.
(3)設(shè)直線AB的方程為:my=x-1.(m≠1,−12).
聯(lián)立{my=x−1x=y,解得A(11−m,11−m),可得|PA|=√(1−11−m)2+(11−m)2=√1+m2|1−m|.
聯(lián)立{my=x−12x+y=0,解得B(11+2m,−21+2m),可得|PB|=√(1−11+2m)2+(−21+2m)2=2√1+m2|1+2m|.
∴|PA|•|PB|=2(1+m2)|(1−m)(1+2m)|=2(1+m2)|2m2−m−1|=2|2−m+31+m2|=f(m),
m=-3時(shí),f(-3)=1;
令m+3=k≠0,f(m)=g(k)=2|2−kk2−6k+10|=2|2−1k+10k−6|,
k<0時(shí),g(k)=2|2+1−k+10−k+6|≥2|2+12√10+6|=12+4√1013+4√10.
k>0時(shí),g(k)=2|2−1k+10k−6|≥2|2−12√10−6|=4√10−1213−4√10,
而12+4√1013+4√10<4√10−1213−4√10,
∴g(k)的最小值為:12+4√1013+4√10.
當(dāng)且僅當(dāng)k=-√10時(shí)取等號.
∴m=-√10-3.
∴直線AB的方程為:(-√10-3)y=x-1.
點(diǎn)評 本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、直線的方程,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | √62 | B. | 32 | C. | √6 | D. | 2 |
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