Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線被圓x²+y²-6x+5=0截得的弦長為2，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓的圓心和半徑，求得雙曲線的方程的漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，解方程可得a²=2b²，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
圓x²+y²-6x+5=0即為（x-3）²+y²=4，
圓心為（3，0），半徑為2，
圓心到漸近線的距離為d=$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由弦長公式可得2=2$\sqrt{4-\frac{9^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$，
化簡可得a²=2b²，
即有c²=a²+b²=$\frac{3}{2}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查直線和圓相交的弦長公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．