Question

16．設函數(shù)f（x）=（e^x-1）（x-1）^k，e為自然對數(shù)的底數(shù)
（Ⅰ）當k=1時，求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x），并證明f（x）≥g（x）恒成立；
（Ⅱ）當k=2時，設三角形A，B，C是函數(shù)y=f（x），x∈（2，+∞）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；將y=f（x）與y=g（x）作差，討論x=1，x＞1，x＜1，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，即可得證；
（Ⅱ）判斷f（x）是（2，+∞）的單調增函數(shù)，運用數(shù)量積的坐標表示，得出$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，即cosB＜0，∠B為鈍角，△ABC為鈍角三角形．

解答 解：（Ⅰ）當k=1時，函數(shù)f（x）=（e^x-1）（x-1），
導數(shù)為f′（x）=e^x（x-1）+（e^x-1），
可得在點（1，f（1））處的切線斜率為k=e-1，切點為（1，0），
則在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）（x-1）；
由f（x）-g（x）=（e^x-1））（x-1）-（e-1）（x-1）=（e^x-e）（x-1），
當x=1時，f（1）=g（1）；當x＞1時，x-1＞0，e^x＞e，則（e^x-e）（x-1）＞0；
當x＜1時，x-1＜0，e^x＜e，則（e^x-e）（x-1）＞0．
綜上可得f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃
由f（x）=（e^x-1）（x-1）²，
導數(shù)f′（x）=e^x（x-1）²+2（e^x-1）（x-1）=（x-1）（xe^x+e^x-2），
由x＞2可得，x-1＞0，e^x＞e²＞2，xe^x+e^x-2＞0，
即有f′（x）＞0，
可得f（x）是（2，+∞）的單調增函數(shù)，
即有f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃），
$\overrightarrow{BA}$=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x2）），$\overrightarrow{BC}$=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂）），
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（f（x₁）-f（x₂））（f（x₃）-f（x₂））
由x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₃）-f（x₂）＞0，
可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，即cosB＜0，∠B為鈍角．
故△ABC為鈍角三角形

點評 本題考查了導數(shù)的運用：求切線方程和函數(shù)的單調性，考查向量坐標運算及幾何意義，以及單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．