Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$-ax-b|（a，b∈R），當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，設(shè)f（x）的最大值為M（a，b），則M（a，b）的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得a≤0，b≤0，f（x）可取得最大值，即有f（x）=x+$\frac{1}{x}$-ax-b，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出導(dǎo)數(shù)和極值點，計算端點處的函數(shù)值，比較可得最大值M（a，b），即可得到所求最小值．

解答 解：由題意可得a≤0，b≤0，f（x）可取得最大值，
即有f（x）=x+$\frac{1}{x}$-ax-b，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$-a=$\frac{（1-a）{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0可得x=$\sqrt{\frac{1}{1-a}}$（負(fù)的舍去），
且為極小值點，
且$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{1-a}}$≤2，解得-3≤a≤$\frac{3}{4}$，
則f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$a-b，f（2）=$\frac{5}{2}$-2a-b，
由f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$a＜0，即有f（2）取得最大值，
即有M（a，b）=$\frac{5}{2}$-2a-b，
可得a=0，b=$\frac{9}{4}$時，取得最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)，求得極值點，比較端點處的函數(shù)值，考查不等式的性質(zhì)，以及推理能力及運算能力，屬于中檔題．