Question

5．△ABC中，cosA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$，則cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 由已知求出sinA，sinB的值，由cosC=-cos（A+B），然后展開兩角和的余弦求解．

解答 解：在△ABC中，由cosA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$，可知A，B均為銳角，
則$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=\frac{3}{5}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=$-\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的余弦，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．