Question

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直線CA和平面α所成的角為30°．
（1）求證：BC⊥PQ；    
（2）若AC=2，求二面角B-AC-P的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間角

分析：（1）在平面β內過點C作CO⊥PQ于點O，連接OB．利用面面垂直的性質可得：CO⊥α，由CA=CB，可得OA=OB．從而BO⊥PQ，利用線面垂直的判定可得PQ⊥平面OBC．再利用線面垂直的性質定理即可得出．
（2）由（1）知，BO⊥PQ，利用面面垂直的性質可得BO⊥β．過點O作OH⊥AC于點H，連接BH，由三垂線定理知，可得∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．再利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答： 解：（1）在平面β內過點C作CO⊥PQ于點O，連接OB．
∵α⊥β，α∩β=PQ，
∴CO⊥α，
又∵CA=CB，∴OA=OB．
而∠BAO=45°，∴∠ABO=45°，∠AOB=90°，
從而BO⊥PQ，又BO∩OC=O，
∴PQ⊥平面OBC．
又BC?平面OBC，
故PQ⊥BC．
（2）由（1）知，BO⊥PQ，
又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，∴BO⊥β．
過點O作OH⊥AC于點H，連接BH，
由三垂線定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
由（1）知，CO⊥α，∴∠CAO是CA和平面α所成的角，則∠CAO=30°，
在Rt△AEM，則AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，∴BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=

BO

OH

=2．
故二面角B-AC-P的正切值為2．

點評：本題考查了線面與面面垂直的判定與性質定理、三垂線定理、二面角、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．