Question

4．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=ae^x+（b²-3）x在x=0處取得極值，則ab的最大值等于2．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)f′（x），據(jù)題意便有f′（0）=a+b²-3=0，從而得出a=3-b²，從而ab=-b³+3b，并且根據(jù)a＞0，b＞0，可求出$0＜b＜\sqrt{3}$，并設(shè)g（b）=-b³+3b，求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號便可判斷出g（b）在b=1時取得最大值，這樣即可求出ab的最大值．

解答 解：f′（x）=ae^x+b²-3；
∵f（x）在x=0處取得極值；
∴f′（0）=a+b²-3=0；
∴a=3-b²；
∴ab=（3-b²）b=-b³+3b；
∵a＞0，b＞0；
∴3-b²＞0；
∴$0＜b＜\sqrt{3}$；
設(shè)g（b）=-b³+3b，g′（b）=-3b²+3=3（1-b²）；
∴b∈（0，1）時，g′（b）＞0，b$∈（1，\sqrt{3}）$時，g′（b）＜0；
∴b=1時，g（b）取最大值2；
即ab的最大值為2．
故答案為：2．

點評 考查函數(shù)極值的概念，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)極值和最值的方法及過程，清楚函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0，注意正確求導(dǎo)．