Question

某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：單位是萬元）

（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，寫出它們的函數(shù)關(guān)系式．
（2）現(xiàn)企業(yè)有20萬元資金全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這20萬元資金，能使獲得的利潤最大，其最大利潤是多少萬元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品的利潤與投資x的函數(shù)關(guān)系分別為f（x），g（x）寫出函數(shù)的表達式，利用條件求出函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)有x（0≤x≤20）萬元投入A產(chǎn)品，則有（20-x）萬元投入B產(chǎn)品，所得利潤y=

1

2

x+2

20-x

（0≤x≤20），利用換元法以及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品的利潤與投資x的函數(shù)關(guān)系分別為f（x），g（x）
依題意可設(shè)f(x)=kx(k＞0)，g(x)=m

x

(m＞0)
由已知f（2）=1，g（1）=2可得k=

1

2

，m=2
∴f(x)=

1

2

x(x≥0)，g(x)=2

x

(x≥0)…（6分）
（2）設(shè)有x（0≤x≤20）萬元投入A產(chǎn)品，則有（20-x）萬元投入B產(chǎn)品
所得利潤y=

1

2

x+2

20-x

（0≤x≤20）…（8分）
令t=

20-x

∈[0，2

5

]則x=20-t2
∴y=

1

2

(20-t2)+2t

y= 1 2 (20-t2)+2t =- 1 2 t2+2t+10 =- 1 2 (t-2)2+12

∵t∈[0，2

5

]，
∴當t=2時，y_max=12此時x=16
答：A產(chǎn)品投入16萬元，B產(chǎn)品投入4萬元，能使獲得的利潤最大，最大利潤為12萬元．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，換元法以及二次函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．