12.已知過原點的動直線與圓${C_1}:{x^2}+{y^2}-6x+5=0$相交于不同的兩點A,B.
(1)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;
(2)是否存在實數(shù),使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點:若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

分析 (1)設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx,通過聯(lián)立直線l與圓C1的方程,利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,計算即得結(jié)論;
(2)通過聯(lián)立直線L與圓C1的方程,利用根的判別式△=0及軌跡C的端點與點(4,0)決定的直線斜率,即得結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè)M(x,y),
∵點M為弦AB中點即C1M⊥AB,
∴${k_{{C_1}M}}•{k_{AB}}=-1$即$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x}=-1$,
∴線段AB的中點M的軌跡的方程為${({x-\frac{3}{2}})^2}+{y^2}=\frac{9}{4}({\frac{5}{3}<x≤3})$;
(2)由(1)知點M的軌跡是以$C({\frac{3}{2},0})$為圓心$r=\frac{3}{2}$為半徑的部分圓弧EF(如圖所示,不包括兩端點),且$E({\frac{5}{3},\frac{{2\sqrt{5}}}{3}})$,$F({\frac{5}{3},-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}})$,又直線L:y=k(x-4)過定點D(4,0),
當(dāng)直線L與圓C相切時,由$\frac{{|{k({\frac{3}{2}-4})-0}|}}{{\sqrt{{k^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{2}$得$k=±\frac{3}{4}$,又${k_{DE}}=-{k_{DF}}=-\frac{{0-({-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}})}}{{4-\frac{5}{3}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{7}$,
結(jié)合上圖可知當(dāng)$k∈\left\{{-\frac{3}{4},\frac{3}{4}}\right\}∪[{-\frac{{2\sqrt{5}}}{7},\frac{{2\sqrt{5}}}{7}}]$時,直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點.

點評 本題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關(guān)系問題,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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